حل مسائل 8 تا 10 فصل 5 فیزیک دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین {8} آخر فصل پنجم فیزیک دهم سلام! بیا با هم این سوال جالب رو تحلیل کنیم. ما یک چرخه ترمودینامیکی داریم و می‌خوایم علامت کار (W)، گرمای خالص (Q) و تغییر انرژی درونی (ΔU) رو در کل این چرخه پیدا کنیم. 1. **تغییر انرژی درونی (ΔU) در یک چرخه:** انرژی درونی یک خاصیت حالت گاز به حساب میاد. یعنی مقدارش فقط به حالت فعلی گاز (مثل دما، فشار و حجم) بستگی داره، نه به مسیری که طی کرده تا به این حالت برسه. در یک **چرخه**، گاز از یک حالت اولیه شروع می‌کنه، تغییراتی رو تجربه می‌کنه و در نهایت دقیقاً به همون حالت اولیه برمی‌گرده. چون حالت اولیه و نهایی یکسان هستند، **تغییر انرژی درونی در هر چرخۀ کاملی صفر است**. بنابراین: $$\Delta U_{چرخه} = 0$$ 2. **کار انجام شده (W) در یک چرخه:** کار در نمودار P-V برابر با **سطح زیر نمودار** است. اما در یک چرخه، ما دو مسیر داریم: یک مسیر انبساط (افزایش حجم) و یک مسیر تراکم (کاهش حجم). * **کار در مسیر انبساط (مسیر پایینی):** حجم گاز زیاد می‌شه (حرکت به سمت راست روی محور V)، پس گاز روی محیط کار انجام می‌ده و طبق قرارداد کتاب درسی، کار منفی است ($$W < 0$$). * **کار در مسیر تراکم (مسیر بالایی):** حجم گاز کم می‌شه (حرکت به سمت چپ روی محور V)، پس محیط روی گاز کار انجام می‌ده و کار مثبت است ($$W > 0$$). برای پیدا کردن کار کل چرخه، باید ببینیم کدوم کار بزرگ‌تره. کار کل چرخه برابر با **مساحت داخل حلقه** است. حالا باید علامتش رو مشخص کنیم. چون جهت چرخه **پادساعتگرد** است، کار انجام شده روی گاز (مسیر تراکم) از کار انجام شده توسط گاز (مسیر انبساط) بزرگ‌تره. در واقع، سطح زیر نمودار بالایی (تراکم) بیشتر از سطح زیر نمودار پایینی (انبساط) است. پس کار خالص انجام شده **روی** گاز مثبت خواهد بود. بنابراین: $$W_{چرخه} > 0$$ (مثبت) 3. **گرمای خالص (Q) در یک چرخه:** اینجا از **قانون اول ترمودینامیک** استفاده می‌کنیم: $$\Delta U = Q + W$$ ما قبلاً فهمیدیم که در یک چرخه کامل $$ \Delta U = 0 $$ است. پس می‌تونیم فرمول رو این‌طور بنویسیم: $$0 = Q_{چرخه} + W_{چرخه}$$ $$Q_{چرخه} = -W_{چرخه}$$ چون ما حساب کردیم که $$W_{چرخه}$$ مثبت است، پس $$Q_{چرخه}$$ باید **منفی** باشه. $$Q_{چرخه} < 0$$ (منفی) منفی بودن Q یعنی در مجموع کل چرخه، گاز گرما از دست داده است. **خلاصه نهایی:** * **تغییر انرژی درونی:** $$\Delta U = 0$$ * **کار کل:** $$W > 0$$ (مثبت) * **گرمای کل:** $$Q < 0$$ (منفی)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین {9} آخر فصل پنجم فیزیک دهم سلام! این سوال در مورد یک چرخه ترمودینامیکی روی نمودار P-V هست. بیا قدم به قدم حلش کنیم. **الف) تعیین جهت تبادل گرما (گرفتن یا از دست دادن)** برای فهمیدن اینکه گاز در کل چرخه گرما گرفته یا از دست داده، اول باید **کار (W)** رو تحلیل کنیم. 1. **جهت چرخه:** با دقت به فلش‌ها نگاه کن. حرکت از a به b و دوباره به a در جهت **ساعتگرد** است. 2. **مفهوم کار در چرخه ساعتگرد:** در یک چرخه ساعتگرد، گاز در مسیر بالایی (که فشار بیشتری دارد) منبسط می‌شود و در مسیر پایینی (که فشار کمتری دارد) متراکم می‌شود. در نتیجه، کار انجام شده **توسط** گاز بیشتر از کار انجام شده **روی** گاز است. پس کار خالص، کاری است که گاز روی محیط انجام داده. * طبق قرارداد کتاب درسی شما، وقتی گاز کار انجام می‌دهد، **کار (W) منفی است**. * یک راه ساده‌تر: **چرخه ساعتگرد یعنی کار خالص منفی ($$W < 0$$) و چرخه پادساعتگرد یعنی کار خالص مثبت ($$W > 0$$)**. 3. **ارتباط کار و گرما با قانون اول ترمودینامیک:** قانون اول ترمودینامیک می‌گه: $$\Delta U = Q + W$$. * در هر **چرخه** کاملی، چون گاز به حالت اولیه خودش برمی‌گرده، **تغییرات انرژی درونی همیشه صفر** است ($$\Delta U = 0$$). * پس فرمول ما به این شکل درمیاد: $$0 = Q + W$$ یا $$Q = -W$$. 4. **نتیجه‌گیری:** از اونجایی که چرخه ساعتگرده، پس $$W$$ منفیه. در نتیجه، $$Q$$ باید **مثبت** باشه ($$Q = -(-|W|) = +|W|$$). * **مثبت بودن Q یعنی گاز در مجموع کل چرخه، گرما گرفته است.** **ب) محاسبه کار انجام شده روی گاز** 1. **استفاده از داده‌های سوال:** سوال گفته که مقدار گرمای مبادله شده در چرخه **400 ژول** است. از بخش (الف) فهمیدیم که گاز گرما گرفته، پس مقدار $$Q$$ مثبت است. $$Q = +400 \, J$$ 2. **محاسبه کار:** دوباره از قانون اول ترمودینامیک برای چرخه استفاده می‌کنیم: $$\Delta U = Q + W$$ $$0 = 400 \, J + W$$ $$W = -400 \, J$$ 3. **تفسیر نتیجه:** علامت منفی برای کار ($$W = -400 \, J$$) یعنی **گاز روی محیط** کار انجام داده. سوال از ما **«کار انجام شده روی گاز»** رو خواسته. کار انجام شده روی گاز، قرینه کاری هست که ما محاسبه کردیم. * کار انجام شده **توسط** گاز = $$400 \, J$$ * کار انجام شده **روی** گاز = $$-W = -(-400 \, J) = +400 \, J$$ پس پاسخ نهایی **400 ژول** است. حواست به این باشه که سوال «کار (W)» رو میخواد یا «کار انجام شده روی گاز» که این دو قرینه هم هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین {10} آخر فصل پنجم فیزیک دهم سلام! بیا این مسئله چرخه مستطیلی رو با هم حل کنیم. نمودار، فشار (P) رو بر حسب اتمسفر (atm) و حجم (V) رو بر حسب لیتر (L) نشون میده. **الف) محاسبه دما در نقاط 2، 3 و 4** برای این کار از **قانون گازهای کامل** ($$PV = nRT$$) استفاده می‌کنیم. چون n (مقدار گاز) و R (ثابت گازها) ثابت هستند، می‌تونیم از رابطه تناسبی $$ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} $$ برای مقایسه حالت‌های مختلف استفاده کنیم. **داده‌های اولیه:** $$T_1 = 200 \, K$$, $$P_1 = 1.0 \, atm$$, $$V_1 = 100 \, L$$ * **فرایند 1 به 2 (هم‌حجم):** $$V_1 = V_2 = 100 \, L$$. فشار از $$P_1 = 1.0 \, atm$$ به $$P_2 = 3.0 \, atm$$ میرسه. چون حجم ثابته، داریم: $$ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} $$. $$T_2 = T_1 \times \frac{P_2}{P_1} = 200 \, K \times \frac{3.0}{1.0} = 600 \, K$$ * **فرایند 2 به 3 (هم‌فشار):** $$P_2 = P_3 = 3.0 \, atm$$. حجم از $$V_2 = 100 \, L$$ به $$V_3 = 300 \, L$$ میرسه. چون فشار ثابته، داریم: $$ \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3} $$. $$T_3 = T_2 \times \frac{V_3}{V_2} = 600 \, K \times \frac{300}{100} = 1800 \, K$$ * **فرایند 3 به 4 (هم‌حجم):** $$V_3 = V_4 = 300 \, L$$. فشار از $$P_3 = 3.0 \, atm$$ به $$P_4 = 1.0 \, atm$$ میرسه. داریم: $$ \frac{P_3}{T_3} = \frac{P_4}{T_4} $$. $$T_4 = T_3 \times \frac{P_4}{P_3} = 1800 \, K \times \frac{1.0}{3.0} = 600 \, K$$ **ب) محاسبه کار انجام شده در چرخه** کار کل در یک چرخه برابر با **مساحت داخل حلقه** است. این چرخه یک مستطیل است. $$W_{چرخه} = -(\text{مساحت مستطیل})$$ علامت منفی به این دلیله که چرخه **ساعتگرد** است و کار خالص توسط گاز انجام میشه. **مهم:** واحدها باید به SI تبدیل شوند. $$1 \, atm = 1.0 \times 10^5 \, Pa$$ $$1 \, L = 1.0 \times 10^{-3} \, m^3$$ طول مستطیل: $$\Delta V = V_3 - V_2 = 300 - 100 = 200 \, L = 200 \times 10^{-3} \, m^3$$ عرض مستطیل: $$\Delta P = P_2 - P_1 = 3.0 - 1.0 = 2.0 \, atm = 2.0 \times 10^5 \, Pa$$ $$W_{چرخه} = - (\Delta P \times \Delta V) = - (2.0 \times 10^5 \, Pa) \times (200 \times 10^{-3} \, m^3)$$ $$W_{چرخه} = -40000 \, J = -40 \, kJ$$ کار انجام شده در چرخه **منفی ۴۰ کیلوژول** است. **پ) فرایندهایی که گاز گرما می‌گیرد ($$Q > 0$$)** گاز زمانی گرما می‌گیرد که انرژی درونی آن افزایش یابد یا کاری روی محیط انجام دهد (یا هر دو). یک راه ساده برای گازهای کامل این است: **اگر حاصلضرب $$PV$$ زیاد شود، دما زیاد شده و معمولاً گاز گرما گرفته است**. * **فرایند 1 به 2:** حجم ثابت است ولی فشار زیاد می‌شود ($$\Delta P > 0$$). گاز کاری انجام نمی‌دهد ($$W=0$$). چون دما از 200K به 600K رسیده، انرژی درونی ($$\Delta U$$) زیاد شده. پس طبق قانون اول ($$\Delta U = Q+W$$)، حتماً **گرما گرفته** ($$Q > 0$$). * **فرایند 2 به 3:** فشار ثابت است ولی حجم زیاد می‌شود ($$\Delta V > 0$$). گاز کار انجام می‌دهد ($$W<0$$) و دماش هم از 600K به 1800K زیاد میشه ($$\Delta U > 0$$). پس قطعاً **گرما گرفته** تا هم کار انجام دهد و هم انرژی درونی‌اش زیاد شود. **ت) فرایندهایی که گاز گرما از دست می‌دهد ($$Q < 0$$)** * **فرایند 3 به 4:** حجم ثابت است و فشار کم می‌شود ($$\Delta P < 0$$). کاری انجام نمی‌شود ($$W=0$$). چون دما از 1800K به 600K کم شده، انرژی درونی ($$\Delta U$$) کم شده. پس حتماً **گرما از دست داده** ($$Q < 0$$). * **فرایند 4 به 1:** فشار ثابت است و حجم کم می‌شود ($$\Delta V < 0$$). روی گاز کار انجام شده ($$W>0$$). دما هم از 600K به 200K کم شده ($$\Delta U < 0$$). چون انرژی درونی خیلی کم شده، گاز باید **گرما از دست داده باشد**. **خلاصه:** * **گرما می‌گیرد:** فرایندهای **1 به 2** و **2 به 3**. * **گرما از دست می‌دهد:** فرایندهای **3 به 4** و **4 به 1**.